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Dr. Anton A. Lipovka
CIFUS, Universidad de Sonora

Vercion de 2005


Métodos matemáticos en física (5 horas a la semana)

Prof. Lipovka A.A.                               (Semestre 2008 - 2)

Examen final - 5 de Enero de 2009 a las 9.00

0.     Tensores.

-    Definiciones

-    Propiedades.

-    Tensor fundamental. Ejemplos para espacios curvados.

-    Tensores co- y contra-variantes. Interpretación geométrica.

-    Tensores duales, valores invariantes.

-    Líneas geodésicas.

-    Símbolos de Christoffel.

-    Comportamiento paralelo y la derivada covariante.

-    Derivada contravariante. Ecuaciones para línea geodésica.

-    Generalización de los operadores diferenciales al caso de N-espacio.

-    Tensor de curvatura (de Riemann - Christoffel).

-    Identidad de Bianchi.

-    Tensor de Ricci, escalar de Ricci, tensor de Einstain.

1.       Calculo variacional.

-    Introducción

-    problema de brachistochrone.

-    Método de Euler.

-    Mecánica clásica, los leyes de conservación. Función de Lagrange.

-    Acción para una partícula libre. Función de Lagrange.

-    Acción para una partícula con carga en el campo electromagnético. Función de Lagrange.

-    Derivada de Lagrange – Euler.

-    Ecuaciones de campo. Lagrangeano, tensor de energía – impulso.

-    Ejemplos (campo escalar, vectorial, tensorial).

2.     Los problemas típicos en física.

-    Operadores diferenciales en coordenadas curvadas. Coeficientes de Lamé, operadores Δ y ▼

-    Ecuación de vibraciones para una cuerda, membrana, barra. (deducción)

-    Ecuación de difusión y flujo térmico. Condiciones en frontera. (deducción)

-    Ecuación de la línea larga (ecuación de telégrafo). (deducción)

-    Ecuación de electrostática. (deducción)

-    Ecuaciones de dinámica de liquido ideal. (deducción)

-    Ecuaciones de la teoría de elasticidad. (deducción)

-    Clasificación de las ecuaciones diferenciales.

-    Problema de Dirichlet para ecuación de Poisson, condiciones para solución único.

-    Problema de Neumann para ecuación de Poisson, condiciones para solución único.

-    Problema con condiciones en frontera de III tipo.

-    Problema externa de Laplace.

3.     Métodos de solución.

-    La estructura de solución general para el ecuación en derivadas parciales.

-    Problema de una cuerda infinita (Método de d’Alembert).

-    Separación de las variables (Método de Fourier).

-    Problema de enfriamiento de una placa infinita. Evaluación de convergencia del solución.

-    Problema de una cuerda finita.

-    Problema de Dirichlet para un circulo. Solución con el integral de Poisson.

-    Problema de Dirichlet externa para un circulo.

-    Método de Frobenius.

-    Ejemplo 1 – ecuación de Legendre.

-    Ejemplo 2 – ecuación de Bessel.

4.     Problema de Sturm-Liuvile (PSL).

-    Espacio de Hilbert, propiedades, operadores, conjunto de las funciones ortogonales.

-    Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Ejemplo – polinomios de Legendre.

-    Definición de PSL, propiedades de operador.

-    PSL regular en el intervalo del problema.

-    Propiedades de las  eigenvalores y eigenfunciones.

-    Acotación por abajo del espectro de la PSL.

-    Determinación de las eigenvalores y eigenfunciones de la PSL.

-    PSL. Relación entre la norma de eigenfunciones y el ecuación característico.

-    PSL regular con condiciones periódicas en la frontera.

-    Problema singular de Sturm-Liuvile. Propiedades de las eigenvalores y eigenfunciones.

-    Esquema general para el método de Fourier.

-    Ejemplo 1 – Flujo térmico.

-    Ejemplo 2 – problema para cascaron esférico.

5.     Problemas no-homogéneos.

-    Reducción a la problema homogénea. Esquema general.

-    Ejemplo 1 – placa infinita.

-    Ejemplo 2 – cilindro infinito.

-    Ejemplo 3 – vibraciones estimulados de una cuerda.

-    Problema térmica para una bola con la temperatura externa variable.

-    Método de Transformaciones Integrales Finitos (TIF). (Esquema de G.A. Grinberg)

-    Problema de Neumann para un rectángulo.

-    Problema de vibraciones de una barra.

-    Problema de calentamiento de una bola.

-    Problema electrostática para un sector del circulo. U(φ=0)=Vr/a , 0 < φ < π/2.

-    Problema de Dirichlet para un sector del circulo. U(φ=0, α)=f(φ) , 0 < φ < α.

-    Problema de Dirichlet para un sector del circulo. Caso general.

6.     Funciones especiales.

-    Funciones de Bessel. Definiciones, el radio de convergencia para el serie.

-    Relaciones recurrentes.

-    Dependencia (independencia) lineal de las funciones de Bessel con índice negativo y positivo.

-    Funciones de Weber (Neumann) Yν(z)

-    Asintótica de las funciones de Bessel 1 y 2 tipo para argumento pequeño y infinito.

-    Representación integral.

-    Funciones de Bessel de orden semientero.

-    Ecuación de Bessel con parámetro.

-    Los integrales útiles con función de Bessel.

-    PSL basada en el ecuación de Bessel.

-    Series de Fourier-Bessel y Dini

-    Problema de Dirichlet para un cilindro finito.

-    Problema de flujo térmico para un cilindro infinito.

-    Func. de Bessel modificados. Propiedades, relaciones recurrentes, casos particulares, asintótica.

-    Funciones de Mc-Donald.

-    Problema de Dirichlet para un cilindro corto.

-    Problema no homogénea de Neumann para un cilindro finito.

-    Polinomios de Legendre. Definición, propiedades.

-    Ecuación de Legendre, mostrar que Pn es solución.

-    Solución general de ecuación de Legendre. Segundo solución.

-    PSL basada en ecuación de Legendre.

-    Problema interna de Dirichlet para una esfera.

-    Problema externa de Dirichlet para una esfera.

-    Una esfera dentro de un flujo de liquido ideal.

-    Una carga puntual cerca de superficie de una esfera conductora.

-    Polinomios de Legendre asociados.

-    PSL basada en funciones de Legendre asociados.

7.     Funciones de Green.

-    Delta-función de Dirac.

-    Ecuaciones diferenciales no homogéneos. Método de función de Green.

-    Función de Green en la mecánica quántica y teoría de perturbación.

-    Solución en caso general.

-    Caso particular de operador con segunda derivada.

-    Ejemplo – oscilador harmónico.

-    Función de Green modificada.

-    Solución fundamental para el operador de Laplace. Dimensión de espacio = 1,2,3.

Bibliografía :

1)       G.B. Arfken, H.J. Weber, “Mathematical methods for physicists” Elsevier Academic Press 2005

2)       E. Butkov “Mathematical Physics” Adisson-Wesley, Readings, Massachusetts 1968

3)       P.Dennery, A. Krzywicki “Mathematics for Physicists” Harper & Row, New York 1967

4)       J.Mathews, R.L.Walker, “Mathematical Methods of Physics” Carnegie-Melon U 1984

5)       P.M.Morse, H.Feshbach, ,“Methods of Theoretical Physics” V.1,2, McGraw Hill, New York 1953

6)       A.J.Diaz, A.U.Araujo “Funciones Especiales” Universidad de Sonora, 2007